Selasa, 09 Februari 2016

DISTRIBUSI PROBABILITAS KONTINU DAN DISKRIT



Pengertian Distribusi Peluang Kontinu
Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat memperoleh semua nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R bila:
1. F(x) ≥ 0 untuk semua x ั” R
2. ๐‘“(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ=1∞∞
3. ๐‘ƒ(๐‘Ž<๐‘‹<๐‘)= ∫๐‘“(๐‘ฅ)๐‘‘๐‘ฅ


Beberapa distribusi peluang kontinu :
          Distribusi seragam kontinu
          Distribusi normal
          Distribusi gamma
          Distribusi Weibull

Definisi 1:
            Bila peubah acak X berdistribusi seragam kontinu bila fungsi padatnya berbentuk








 





  Untuk                        dan bernilai nol untuk x yang lainnya
Rataan dan distribusi seragam kontinu adalah







 
                                  Dan  

          Suatu peubah acak X berdistribusi seragam kontinu dengan a=2 dan ฮฒ=7. Carilah P(3<x<5,5) 
Jawab :


 




Distribusi normal


Definisi 2:
            Fungsi pada peubah acak normal X dengan rataan ยต dan variansi ฯƒ2 adalah


 


Kurva setiap distribusi peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian sehingga luas dibawah kurva diantara kedua ordinat x=x1 dan x=x2 sama dengan peluang peubah acak x mendapa nilai x=x1 dan x=x2, Jadi




          Dengan transformasi


          Jadi bila X bernilai antara x=x1 dan x=x2 maka peubah acak Z akan bernilai antara
                              dan

Karena itu







                                  

          Diketahui suatu distribusi normal dengan ยต =50 dan ฯƒ=10, carilah peluang bahwa X mendapat nilai antara 45 dan 62.
Jawab
    Nilai z yang berpadanan dengan  x1 = 45 dan x2 = 62 adalah
                                             dan           

Jadi
               


          Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam an simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam
Jawab
    Nilai z yang berpadanan dengan  x1 = 778 dan x2 = 834 adalah
                                                 Dan        

Jadi             



Distribusi gamma
Definisi 3:
            Peubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter a>0 dan ฮฒ>0, bila fungsi padatan berbentuk


untuk X>0 dan bernilai nol untuk X yang lainnya.
Rataan dan variansi distribusi gamma adalah
                                      dan
Catatan: Bila a=n, n bil bulat positif maka ฮ“(n) = (n-1)!

Contoh
          Bila peubah acak X berdistribusi gamma dengan a=2 dan ฮฒ=1, hitunglah P(1,8<x<2,4)
Jawab
 





Distribusi Weibull
Definisi 4:
            Peubah acak kontinu X berdistribusi Weibull dengan parameter a dan ฮฒ, bila fungsi padatan berbentuk

untuk X>0 dan bernilai nol untuk X yang lainnya.
Rataan dan variansi distribusi Weibull adalah
                                 
                                       Dan 


Distribusi Probabilitas :
¨  Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu P(X=x) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X)
Distribusi Probabilitas Diskrit X (1) :
¨  Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :
            -   P(X = x) = f(x)
             -
             -


Distribusi Probabilitas Diskrit X (2) :
¨  Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :


Distribusi Probabilitas Diskrit X (3) :
¨  Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random diskrit X.
¨  Dinyatakan dengan E(X), yaitu:


 


     Contoh:
  Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini,
  Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang cacat.
  Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat.
  Dengan menggunakan F(x), buktikan f(2) = 3/28
  Hitung nilai rata-rata X.

     





Jawab (1):

¨     Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan :
¨  X         = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli                            oleh sekolah
                        = 0, 1, 2
¨  Sehingga dapat dihitung :









 
      
                                                                                   


          

Rumus distribusi probabilitas adalah                    


  Jadi,  distribusi probabilitas dari X adalah 
x
0
1
2
f(x)
10/28
15/28
3/28




     Jawab (2):
             Distribusi kumulatif F(x) adalah :
F(0)                 = f(0)    = 10/28
F(1)                 = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28
F(2)                 = f(0) + f(1) + f(2)  = 10/28 + 15/28 + 3/28
         = 1
Sehingga :
                        1          , untuk x < 0
F(x) =               10/28   , untuk 0 £ x < 1
                                    25/28   , untuk 1 £ x < 2
                                    1          , untuk x ³ 2

   Jawab (3):

       Dengan menggunakan F(x), maka
                        f(2)      = F(2) – F(1)
                                    = 1 – 25/28
                                    = 3/28
  Nilai Ekspektasi X adalah
                 E(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.F(2)
                         = (0). (10/28) + (1). (15/28) +
                                    (2). (3/28)
                           = 21/28

Distribusi Probabilitas Kontinu X (1):
¨ Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random kontinu X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :
¨  






 








Distribusi Probabilitas Kontinu X (2):
¨  Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :


 
    


 



      Distribusi Probabilitas Kontinu X (3):

              Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random kontinu X.
  Dinyatakan dengan E(X), yaitu:


 


         Contoh:

  Suatu variabel random X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1 £ x £ 4
       Tunjukkan bahwa luas daerah dibawah kurva f sama dengan 1.
       Hitunglah P(1,5 < x < 3)
       Hitunglah P( x < 2,5)
       Hitunglah P(x ³ 3,0)
       Hitug F(x), kemudian gunakan menghitung P( x < 2,5)
       Hitung nilai E(X)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar