Pengertian Distribusi Peluang
Kontinu
Distribusi peluang kontinu adalah peubah acak yang dapat
memperoleh semua nilai pada skala kontinu. Ruang sampel kontinu adalah bila
ruang sampel mengandung titik sampel yang tak terhingga banyaknya. Syarat dari
distribusi kontinu adalah apabila fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang
peubah acak kontinu X yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan riil R
bila:
1. F(x) ≥ 0 untuk semua x є R
2.
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=1∞∞
3. 𝑃(𝑎<𝑋<𝑏)= ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Beberapa
distribusi peluang kontinu :
•
Distribusi
seragam kontinu
•
Distribusi
normal
•
Distribusi
gamma
•
Distribusi
Weibull
Definisi
1:
Bila peubah acak X berdistribusi
seragam kontinu bila fungsi padatnya berbentuk
 |
|||
 |
|||
Untuk dan bernilai nol untuk
x yang lainnya
Rataan dan distribusi seragam kontinu adalah
 |
|||
 |
|||
Dan
•
Suatu
peubah acak X berdistribusi seragam kontinu dengan a=2
dan β=7.
Carilah P(3<x<5,5)
Jawab :
 |
Distribusi
normal
Definisi 2:
Fungsi
pada peubah acak normal X dengan rataan µ
dan variansi σ2 adalah
 |
Kurva setiap distribusi
peluang kontinu atau fungsi padat dibuat sedemikian sehingga luas dibawah kurva
diantara kedua ordinat x=x1 dan x=x2 sama dengan peluang
peubah acak x mendapa nilai x=x1 dan x=x2, Jadi
•
Dengan
transformasi
Dengan
transformasi
•
Jadi
bila X bernilai antara x=x1 dan x=x2 maka peubah acak
Z akan bernilai antara
Jadi
bila X bernilai antara x=x1 dan x=x2 maka peubah acak
Z akan bernilai antara
dan
Karena itu
•
Diketahui
suatu distribusi normal dengan µ =50 dan σ=10, carilah peluang bahwa X mendapat nilai antara
45 dan 62.
Jawab
Nilai z yang berpadanan dengan x1 = 45 dan x2 =
62 adalah
dan 
Jadi
•
Suatu
perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal
dengan rataan 800 jam an simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang suatu bola
lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam
Jawab
Nilai z yang berpadanan dengan x1 = 778 dan x2 =
834 adalah
Dan
Jadi
Distribusi
gamma
Definisi 3:
Peubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan
parameter a>0 dan β>0,
bila fungsi padatan berbentuk
untuk X>0 dan bernilai nol untuk X yang lainnya.
Rataan dan variansi distribusi gamma adalah
dan
Catatan: Bila a=n, n bil bulat positif maka Γ(n) = (n-1)!
Contoh
•
Bila
peubah acak X berdistribusi gamma dengan a=2 dan β=1, hitunglah P(1,8<x<2,4)
Jawab
Distribusi
Weibull
Definisi 4:
Peubah acak kontinu X berdistribusi Weibull dengan
parameter a dan β,
bila fungsi padatan berbentuk
untuk X>0 dan bernilai nol untuk X yang lainnya.
Rataan dan variansi distribusi Weibull adalah
Dan
Distribusi
Probabilitas :
¨ Kumpulan pasangan nilai-nilai
dari variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai variabel random X, yaitu
P(X=x) disebut distribusi probabilitas X (distribusi X)
Distribusi
Probabilitas Diskrit X (1) :
¨ Himpunan pasangan tersusun (x,
f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi
probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x
yang mungkin, berlaku :
-
P(X = x) = f(x)
- 
-
Distribusi
Probabilitas Diskrit X (2) :
¨ 
Distribusi kumulatif F(x) dari
suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :
Distribusi kumulatif F(x) dari
suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :
Distribusi
Probabilitas Diskrit X (3) :
¨ Nilai ekspektasi X adalah nilai
tengah (rata-rata) dari variabel random diskrit X.
¨ Dinyatakan dengan E(X), yaitu:
 |
Contoh:
— Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer
yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah
melakukan suatu pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini,
— Carilah distribusi probabilitas
untuk jumlah yang cacat.
— Carilah distribusi kumulatif
untuk jumlah yang cacat.
— Dengan menggunakan F(x), buktikan
f(2) = 3/28
— Hitung nilai rata-rata X.
Jawab
(1):
¨ Ambil
X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai banyaknya mikrokomputer
yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat
dituliskan :
¨
X
= banyaknya mikrokomputer cacat
yang mungkin akan dibeli oleh sekolah
= 0, 1, 2
¨
Sehingga
dapat dihitung :
 |
 |
 |
Rumus
distribusi probabilitas adalah
— Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah
|
x
|
0
|
1
|
2
|
|
f(x)
|
10/28
|
15/28
|
3/28
|
Jawab (2):
— Distribusi
kumulatif F(x) adalah :
F(0)
= f(0) = 10/28
F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 =
25/28
F(2)
= f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28
= 1
Sehingga
:
1 , untuk x < 0
F(x)
= 10/28 , untuk 0 £ x < 1
25/28 , untuk 1 £ x < 2
1 , untuk x ³ 2
Jawab (3):
— Dengan
menggunakan F(x), maka
f(2) = F(2) – F(1)
= 1 – 25/28
= 3/28
— Nilai Ekspektasi X adalah
E(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.F(2)
= (0). (10/28) + (1). (15/28) +
(2). (3/28)
= 21/28
Distribusi
Probabilitas Kontinu X (1):
¨
Himpunan
pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat
probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random kontinu X
bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :
¨
 |
||
 |
||
Distribusi
Probabilitas Kontinu X (2):
¨
Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random
diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :
 |
 |
Distribusi Probabilitas Kontinu X (3):
— Nilai
ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random kontinu X.
— Dinyatakan dengan E(X), yaitu:
 |
Contoh:
— Suatu
variabel random X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1 £ x £ 4
◦ Tunjukkan bahwa luas daerah
dibawah kurva f sama dengan 1.
◦ Hitunglah P(1,5 < x < 3)
◦ Hitunglah P( x < 2,5)
◦ Hitunglah P(x ³
3,0)
◦ Hitug F(x), kemudian gunakan
menghitung P( x < 2,5)
◦ Hitung nilai E(X)
